纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

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数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是某种数学证明土办法,常用于证明命题(命题是对某个问題的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了有刚刚 有刚刚 领域(比如数学分析)的基础,所以有数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法某种非常简单。肯能当当让.我 我想要证明某个命题对于自然数n都成立,如此:

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下里边的有四个 多步骤。它们实际上意味着着着,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。有刚刚,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,当当让.我 选者n的倒下会意味着着n + 1的倒下,有刚刚推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

当当让.我 来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(你是什么公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,还可不可不可否 算出1到100的累加,还可不可不可否 回家。于是高斯想出了里边的土办法。天才都不 被逼出来的么?)

当当让.我 的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,有刚刚命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    如此,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。有刚刚,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

有刚刚,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指有四个 多计算机多线程 调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求多线程 有有四个 多还可不可不可否 达到的终止条件(base case)。比如下面的多线程 ,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在多线程 中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。我想要得到f(n),还可不可不可否 计算f(n-1);我想要f(n-1),还可不可不可否 计算f(n-2)……直到f(1)。肯能当当让.我 肯能知道了f(1)的值,当当让.我 就还可不可不可否 填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的多线程 实现。使用递归设计多线程 的完后 ,当当让.我 设置base case,并假设当当让.我 会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,当当让.我 只关注初始和衔接,而不还可不可不可否 关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据形状实现的。正如当当让.我 里边所说的,计算f(n),还可不可不可否 f(n-1);计算f(n-1),还可不可不可否 f(n-2)……。当当让.我 在寻找到f(1)完后 ,会有有刚刚 空缺: f(n-1)的值哪些地方? f(n-2)的值是哪些地方? …… f(2)的值是哪些地方?f(1)的值是哪些地方? 当当让.我 的第有四个 多问題是f(n)是哪些地方,结果,你是什么问題引出下有四个 多问題,再下有四个 多问題…… 每个问題的解答都依赖于下有四个 多问題,直到当当让.我 找到第有四个 多还可不可不可否 回答的问題: f(1)的值是哪些地方?

当当让.我 用栈来保存当当让.我 在探索过程中的问題。C语言中,函数的调用肯能是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,所以有很自然的,递归用栈来保存当当让.我 的“问題” 。

当当让.我 假设栈向下增长。首先,当当让.我 调用f(100),如此当执行到

return f(n-1) + n; 

f(100)暂停执行,并记录当前的情況,比如n的值,当前执行到的位置。刚刚调用f(99),栈增加有四个 多frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

有刚刚返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(100),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(100)的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,也还可不可不可否 自行手动实现栈。另有四个 多还可不可不可否 得到更好的运行强度。

总结

数学归纳法

递归

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